OpenAI 추론 모델, 80년 묵은 에르되시 '단위거리 추측' 자율 반증

OpenAI는 자사 내부의 새로운 범용 추론 모델이 1946년 폴 에르되시(Paul Erdős)가 제기한 '평면 단위거리 문제(planar unit distance problem)'의 핵심 추측 하나를 반증했다고 공식 블로그에서 밝혔다. 이 모델은 수학 전용으로 학습되거나 단위거리 문제에 특화된 시스템이 아닌, 일반 목적의 추론 모델이다.

단위거리 문제는 평면 위에 점들을 놓을 때 정확히 단위 길이만큼 떨어진 점 쌍이 최대 몇 개나 될 수 있는지를 묻는 문제다. 2005년 Brass와 Moser, Pach가 함께 쓴 『Research Problems in Discrete Geometry』는 이 문제를 "조합 기하에서 가장 잘 알려졌고 설명도 가장 간단한 문제"라고 평했고, 프린스턴의 조합론 권위자 노가 알론(Noga Alon)은 "에르되시가 좋아한 문제들 중 하나"라고 말했다. 에르되시 자신이 상금까지 걸었던 문제다.

에르되시 이래 학계의 통설은 '제곱 격자(square grid) 구성'이 단위거리 쌍 수를 최대화하는 본질적으로 최적의 방법이라는 것이었다. 그러나 OpenAI 내부 모델이 만든 증명은 이 오랜 추측을 깨뜨리고, 다항식 수준의 개선을 보장하는 무한히 많은 예시 집합을 제시했다. 결과는 외부 수학자 그룹이 검증했고, 의미와 배경을 설명한 동반 논문도 함께 공개됐다.

OpenAI는 "이 증명은 첨단 모델이 첨단 연구에 기여할 수 있는지 확인하기 위한 넓은 시도의 일환으로 에르되시 문제 모음에서 평가하던 중 만들어졌다"며 "미해결 문제를 해결하는 증명을 모델이 만들어 냈다"고 설명했다. 회사는 이번 결과가 수학의 한 하위 분야 중심부에 놓인 저명한 미해결 문제를 AI가 자율적으로 해결한 첫 사례라고 의미를 부여했다.

필즈상 수상자 팀 가워스(Tim Gowers)는 동반 논문에서 이 결과를 "AI 수학의 이정표(milestone in AI mathematics)"라고 평가했다. 정수론 학자 아룰 샹카르(Arul Shankar)는 "이 논문은 현재의 AI 모델이 인간 수학자의 보조자를 넘어 독창적이고 기발한 아이디어를 떠올리고 그것을 결실까지 끌고 갈 능력이 있음을 보여준다"고 말했다.

단위거리 문제의 하한은 에르되시의 1946년 구성에서 본질적으로 바뀌지 않았고, 상한은 1984년 스펜서(Spencer)·세메레디(Szemerédi)·트로터(Trotter)의 결과에서 출발해 셰케이, 카츠와 실리어, 파흐·라즈·솔리모시 등의 정제 작업에도 본질적으로 변하지 않았다. 마투셰크와 알론-부치치-자우어만이 비유클리드 거리에서 추측을 옹호하는 결과를 내놓아 추측 자체에 대한 신뢰가 높았다.

새 증명의 핵심 재료는 기하가 아니라 대수적 정수론(algebraic number theory)에서 나왔다. 에르되시의 기존 하한은 가우스 정수(a+bi 형태)처럼 정수의 확장체에서 갖는 곱셈·인수분해 구조를 통해 이해할 수 있는데, 새 논증은 가우스 정수를 더 풍부한 대칭을 가진 대수적 수체로 치환해 훨씬 더 많은 단위 길이 차이를 만들어 낸다.

증명은 필요한 수체의 존재를 보이기 위해 '무한 류체탑(infinite class field towers)'과 '골로드-샤파레비치(Golod–Shafarevich) 이론'을 활용한다. OpenAI는 "대수적 정수론자에게는 익숙한 도구지만, 이 개념들이 유클리드 평면의 기하 문제에 함의를 가진다는 것은 큰 놀라움"이라고 밝혔다.

원증명은 개선 지수를 명시하지 않았으나, 프린스턴 수학과 교수 윌 소윈(Will Sawin)이 후속 보강을 통해 구체적 지수를 명시한 결과를 내놓았다. 이로써 새 구성이 기존 추측을 어느 정도까지 능가하는지 정량적으로도 표현할 수 있게 됐다.

토마스 블룸(Thomas Bloom)은 동반 노트에서 "이번 증명이 우리에게 새로운 무언가를 가르쳐 줬는가, 우리는 이산 기하를 더 잘 이해하게 됐는가가 평가 기준"이라며 "수론적 구성이 이런 종류의 문제에 대해 우리가 짐작한 것보다 훨씬 많은 것을 말해 줄 수 있고, 그것도 매우 깊은 수론 도구를 요구한다는 점에서 답은 절제된 '예'"라고 평가했다. 그는 "장기 미해결 문제들이 AI가 드러낸 뜻밖의 연결고리로 해결되는 사례가 앞으로 다른 수학 영역에서도 잇따를 것"이라고 전망했다.